Tabelas de verdade
A linguagem usada pelo silogismo é a linguagem natural que acarreta muitos problemas para sua análise, como seu caráter coloquial, metafórico, emotivo que se lhes possam atribuir. Além disso, há argumentos que não podem ser analisados com os diagramas de Venn e carroll, não podemos saber sobre sua validade ou invalidade. Dessa forma, a lógica simbólica foi criada para superar as dificuldades da língua natural. A lógica moderna é puro simbolismo do tipo matemático, preocupando-se cada vez menos com o conteúdo material das proposições e com as operações intelectuais ou estruturas do pensamento. A lógica tornou-se plenamente formal. O seu precursor foi Frege no final do século XIX e desenvolvido posteriormente no século XX por Whitehead, Bertrand Russel e Wittgenstein. Neste capítulo nós usaremos o método criado por Wittgenstein, que é o mais moderno e mais aceito pelos lógicos.A linguagem simbólica criada por Wittgenstein usa um sistema fechado de signos ou símbolos, onde cada símbolo é símbolo de um único objeto ou coisa a ser representada e corresponde a uma única significação. Todo símbolo deve indicar um objeto ou algo que pode ser verificado. Por exemplo, H²O, CO². são símbolos denotativos, pois indicam um só objeto ou um só sentido.
Para caracterizar a ciência em oposição à filosofia, Wittgentein mostrou que as proposições da filosofia não são significativas, são pseudo-proposições. Enunciados só são significativos se, e somente se, eles podem ser reduzidos a proposições elementares ou atômicas. Um enunciado significativo deve descrever fatos atômicos, ou seja, fatos que podem ser “observados” e “verificados” na experiência. Uma proposição elementar ou atômica é a figuração de um fato elementar ou atômico na realidade, isto é, de estados de coisas atômicos. As proposições elementares ou atômicas são descrições ou “afigurações da realidade”. São um quadro, um retrato da realidade. Por exemplo, as sentenças:
Platão é um bípede sem pena
João é gordo e careca
Oxigênio produz combusta.
Essas proposições são juízos de percepção que descrevem a realidade. Com efeito, são proposições que podem ser reduzidas a proposições elementares da lógica formal. A lógica torna-se a linguagem ideal para todas as ciências. Podemos substituir as proposições acima por símbolos, tais como p٨q – lemos p e q - Platão é um bípede sem penas; Oxigênio produz combustão (p→q), lemos p implica q. A linguagem cientifica deve ser substituída por uma linguagem simbólica, eliminando assim os erros da linguagem comum. Ela é um instrumento de análise que busca determinar as proposições significativas, como as inferências legítimas de toda as ciências. Para Wittgentein, somente a proposição é dotada de sentido e significado, nomes isolados apenas denotam o objeto, não possuem sentido. A proposição é uma figuração de fatos e não de coisas isoladas. O mundo não é a totalidade das coisas, mas a totalidade dos fatos.
O mundo é totalidade dos fatos, não das coisas. (Tract.,1.1).
O mundo decompõe-se em fatos (Tract.,1.2)
Para Wittgentein, “a proposição é uma imagem da realidade. A proposição é um modelo da realidade tal como nós a pensamos” (Tract., 4.01). Quando digo: a porta está aberta, faço um recorte da realidade, faço uma figuração de um fato. Assim, este enunciado só pode ter dois valores de verdade: é verdadeiro ou é falso. Se corresponder à realidade ele é verdadeiro, se não corresponder é falso. Cada elemento que compõe a realidade deve ter uma correspondência no domínio da proposição. Os nomes que representam o objeto se combinam para formar a proposição, com efeito, representam os “estados de coisas”. A proposição é uma imagem da realidade: se eu compreendo a proposição, então conheço a situação por ela representada. E compreendo a proposição sem que o seu sentido me tenha sido explicado (Tract. 4.021) O que há de comum entre a proposição e a realidade é a forma dos objetos, isto é, a forma lógica. Devemos entender essa forma como uma determinada possibilidade de combinação dos objetos entre si. É a forma lógica que estabelece a conexão necessária entre as proposições e os fatos. O que cada figuração, de forma qualquer, deve sempre ter em comum com a realidade para poder figurá-lo em geral – correta ou falsamente – é a forma lógica, isto é, a forma da realidade. (Tract. 2.18).
Wittgentein sempre acreditou na existência de uma ordem a priori no mundo, assim como no pensamento. Devemos lembrar que a linguagem é a expressão do pensamento. Só podemos pensar e falar sobre o mundo, porque há algo em comum entre linguagem e mundo. Ambas possuem uma estrutura lógica. A lógica possibilita a linguagem representar o mundo. O mundo é lógico.
Há uma aureola à volta do pensamento. – A sua essência, a lógica, representa uma ordem, de fato a ordem a priori do mundo, isto é, a ordem das possibilidades que têm que ser comuns ao mundo e ao pensamento. Mas parece que esta ordem tem que ser supremamente simples. É a ordem que precede toda experiência, que corre ao longo de toda experiência, à qual não se deve pegar nada do que é turvo e incerto na experiência. – Tem que ser do mais puro cristal. Mas este cristal não parece ser uma abstração, mas algo de concreto, como a coisa mais dura que há, (…) (Investigações, 97)
Para ficar mais claro esta idéia, daremos um exemplo ilustrativo. Imaginem que estivéssemos em Limeira, mas não sabemos como chegar em São Carlos. A primeira atitude a tomar é olhar um mapa. No mapa, percebemos que para chegar em São Carlos teremos que pegar a rodovia Washington Luiz, passar por Rio Claro, até, finalmente, chegarmos em São Carlos.
· São Carlos
·Rio Claro
· Limeira
Este diagrama é uma representação que nos mostra as posições relativas das cidades na Rodovia Washington Luiz. Nota-se que a cidade de Rio Claro fica entre Limeira e São Carlos. Temos aqui uma representação que pode ser verdadeira ou falsa. O diagrama me diz que entre as cidades nomeadas existe a mesma articulação espacial que existe entre os nomes. A rodovia Washignton Luiz, que é representado por uma linha, liga os nomes das cidades numa relação espacial. A mesma relação espacial que existe entre as cidades é figurada no mapa. O mapa poderia ser falso. Essa relação poderia não existir, mas o mapa não deixaria de ser significativo. É isso que Wittgentein chama a forma da afiguração, ou seja, é o que há de comum entre a representação e o representado. O que há de comum, portanto, entre o mapa e a realidade, é a forma lógica. A concatenação dos elementos da representação é a mesma concatenação que existe na realidade. Decorre disso, que o mundo possui um espaço lógico que se reflete na linguagem. A linguagem torna-se, portanto, o espelho do mundo.
Tudo o que ocorre no mundo pode ser expresso pela linguagem. A linguagem é o retrato de tudo o que ocorre e de tudo que não ocorre. Através da estrutura lógica da linguagem, podemos compreender a estrutura lógica do mundo. Compreender o sentido de uma proposição é saber como devemos chegar a uma decisão sobre sua verdade ou falsidade. Devemos mostrar se ela é suscetível de ser verificada por uma evidência do tipo observacional. Uma proposição é significativa se ela “espelha os fatos”, isto é, se ela pode ser verificada na experiência ou se ela é uma conseqüência lógica de proposições de observação.
A verificabilidade completa, aqui exigida, de forma alguma é a verificação completa, mas a possibilidade lógica de um conjunto de dados verificadores concludentes, formulados em proposições de observação. Isto significa que proposições referentes a regiões inacessíveis do espaço e do tempo, por exemplo, podem muito bem ser completamente verificáveis. (Châtelet, 1974, p.81).
Para Wittgestein uma teoria somente é significativa se ela mantêm uma relação intrínseca com a realidade, ou seja, se as proposições da teoria possuem uma significação empírica. Contudo, a realidade não é apenas aquilo que vemos, sentimos ou podemos ter a experiência. A realidade se constitui pela soma dos estados de coisas subsistentes, isto é, dos fatos e dos estados de coisas possíveis, ou seja, daqueles que não subsistem, mas podem vir a existir.
A subsistência e a não subsistência dos estados de coisas é a realidade (Chamamos de fato positivo a subsistência de estados de coisas e de negativo a não subsistência deles), (Tractatus. 2.06).
A totalidade dos fatos determina, pois, o que ocorre e também tudo o que não ocorre. (Tractatus, 1.12).
Os compromissos que governam a ciência normal especificam não apenas as espécies de entidades que o universo contém, mas também, implicitamente, aquelas que não contém. (Kuhn, 1991, p. 26).
Uma vez que aprendemos algumas noções propedêuticas da lógica de Wittgenstein, vamos agora ao simbolismo.
→ “implica” ou “se…então”
٧ “ou”
٨ “e”
↔ “equivalente” ou “se e somente se”
.˚. “portanto” ou “logo”
a,b, p, q, r, s “proposições atômicas”
p ٨ q; p ٧ q; p → q; p ↔ q . “proposições moleculares”
Os símbolos nos permitem transformar um argumento da linguagem coloquial em um argumento lógico matemático. Por exemplo:
Só há combustão se houver oxigênio
Na lua não há oxigênio.
Logo, na lua não pode haver combustão.
O argumento teria a seguinte forma: p=combustão q=oxigênio
p → q Só há combustão se houver oxigênio
>q não há oxigênio
.º. >p não há combustão
Vamos dar mais um exemplo: p=José tem uma blusa branca; q=José tem uma blusa preta
José tem uma blusa branca ou José tem uma blusa preta
José não tem uma blusa branca
Portanto, José tem uma blusa preta
p v q
>p
.º. q
Nós apresentamos aqui um argumento de implicação e outro de disjunção. Mas para sabermos se esses argumentos são válidos ou inválidos devemos recorrer as tabelas de verdade. Como já foi mostrado, se admitimos como verdadeiras as premissas de um argumento, também, por uma necessidade lógica, devemos admitir a conclusão como verdadeira. Esse argumento torna mais clara essa idéia: 10>9, 9>7, portanto, 10>7. Se admitirmos que as premissas são verdadeiras, a conclusão também deve ser verdadeira, ela decorre necessariamente das premissas. O objetivo das tabelas de verdade é mostrar todas as ocorrências dos valores de verdade em um argumento, com isso, nos permitir averiguar se existe pelo menos uma atribuição de valores de verdade que torna as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Se houver tal atribuição, o argumento é inválido; se não houver, o argumento é válido. Parece confuso, mas os exemplos devem tornar mais claros a finalidade das tabelas de verdade. Dado quaisquer enunciados p e q, só existem quatro conjuntos de valores de verdade que lhes possamos atribuir.
Se p é verdadeiro e q é verdadeiro
Se p é verdadeiro e q é falso,
Se p é falso e q é verdadeiro,
Se p é falso e q é falso,
| p q |
| V V |
| V F |
| F V |
| F F |
Nós apresentamos os possíveis valores de verdade para p e q, nós também podemos negá-los usando o sinal de “>” (chamamos negação). Quando p e q são verdadeiro, >p e >q são falsos, da mesma forma quando p e q são falsos >p e >q são verdadeiros.
| p q | >p >q |
| V V | F F |
| V F | F V |
| F V | V F |
| F F | V V |
Agora vamos aprender os valores de verdade dos quatro conectivos lógicos.
Se p é verdadeiro e q é verdadeiro, p ^ q é verdadeiro
Se p é verdadeiro e q é falso, p ^ q é falso
Se p é falso e q é verdadeiro, p ^q, é falso
Se p é falso e q é falso, p ^q é falso
| p q | p ^ q |
| V V | V |
| V F | F |
| F V | F |
| F F | F |
Nós temos até agora o conjunto de valores de verdade da conjunção. A partir daqui nós já podemos desenvolver um pequeno argumento e saber se ele é inválido ou não.
O Brasil foi campeão em 2002
Portanto, a Itália será campeã em 2006
Será que há uma relação causal entre essas duas proposições? O fato do Brasil ser campeão em 2002 torna possível a Itália ser campeã em 2006. Nós mostraremos através de uma tabela de verdade que este argumento é inválido.
| p q |
| V V |
| V F * |
| F V |
| F F |
Este argumento é inválido, pois ele vai contra a nossa definição de argumento válido. Um argumento é válido se, e somente se, é impossível que suas premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Nota-se que na segunda linha a premissa é verdadeira e a conclusão falsa, esse argumento é, portanto, inválido. Vamos fazer mais um argumento para tornar mais clara a finalidade das tabelas de verdade.
João é careca e usa peruca p ^ q
João é careca p
Portanto, João não usa peruca .°. > q
Parece obvio que este argumento é inválido, uma vez que, se João é careca e usa peruca, então, decorre necessariamente disso que, se ele não é careca, ele também não usa peruca. Mas a nossa conclusão diz exatamente o contrário, ou seja, que João não usa peruca, apesar de ser careca. Vamos analisar pelas tabelas de verdade. A primeira coisa a fazer é estabelecer os quatro valores de verdade de p e q, depois os valores do conectivo de conjunção (p^q), que será nossa primeira premissa do argumento, logo após devemos apenar copiar os valores de verdade da proposição atômica p, que será a segunda premissa e, por último, devemos negar os valores de verdade da proposição atômica q, que será nossa conclusão.
| Valores | premissa | premissa | conclusão |
| p q | p ^ q | p | >q |
| V V | V | V | F * |
| V F | F | V | V |
| F V | F | F | F |
| F F | F | F | V |
Nós finalmente montamos a matriz do argumento. Ele é inválido, pois na primeira linha ele torna as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Todo argumento só é inválido se é possível que suas premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Essa definição deve ficar bem clara na mente do leitor. Ela que deve nos guiar para sabemos se um argumento é válido ou inválido através do uso de tabelas de verdade. Por exemplo, se eu admitir como verdadeira as premissas, eu também tenho que admitir a conclusão como verdadeira. Se eu admitir que todo homem é mortal e que Sócrates é homem, eu também tenho que admitir, baseando-se nas premissas, que Sócrates é mortal. A conclusão decorre necessariamente das premissas. Por isso que as tabelas nos servem para identificar os argumentos inválidos.
Vamos agora construir um novo argumento, mas usando um novo conectivo. Nós usaremos o conectivo de implicação (→), que já falamos um pouco no começo da explicação sobre tabelas de verdades. Mas antes, vamos construir os possíveis valores de verdade da implicação.
Se p é verdadeiro e q é verdadeiro, p→q é verdadeiro
Se p é verdadeiro e q é falso, p→q é falso
Se p é falso e q é verdadeiro, p→q é verdadeiro
Se p é falso e q é falso, p→q é verdadeiro
Agora que sabemos os valores de verdade da implicação, vamos a análise do argumento. Primeiramente vamos transformar o argumento em símbolos. Logo após construiremos os quatro valores de verdade de p e q. Essa construção é necessária em todo argumento. Vamos então a primeira premissa (p → q), construiremos os possíveis valores da implicação, que já mostramos acima. Depois construiremos os valores de verdade da proposição atômica q, ou seja, de sua negação; basta apenas inverter os valores de q, negando-os.A proposição >p constitui nossa segunda premissa. Por último, construiremos os valores de verdade da proposição atômica p, basta apenas copiá-lo da primeira coluna.
Só há combustão se houver oxigênio p → q
Na lua não há oxigênio >q
Portanto, na lua não há combustão .º. >p
| Valores | Premissa | Premissa | Conclusão |
| p q | p → q | >q | >p |
| V V | V | F | F |
| V F | F | V | F |
| F V | V | F | V |
| F F | V | V | V * |
Esse argumento, como podemos notar, é válido. Não há nenhuma linha da tabela que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Ao contrário percebemos na última linha que a conclusão decorre necessariamente das premissas, tanto a premissa como a conclusão são verdadeiras.
Até o momento nós construímos os valores de verdade da conjunção e da implicação. Faltam apenas a tabela da disjunção e da equivalência. Vamos construir a tabela de verdades da disjunção para construirmos um argumento.
Se p é verdadeiro e q é verdadeiro, p v q é verdadeiro
Se p é verdadeiro e q é falso, p v q é verdadeiro
Se p é falso e q é verdadeiro, p v q é verdadeiro
Se p é falso e q é falso, p v q é falso
Agora que construímos os valores de verdade da disjunção, temos que analisar um argumento. A primeira coisa é transformar o argumento em símbolos. Logo após construiremos os quatro valores de verdade de p e q. Uma vez feito isso, começaremos analisar o argumento. Ao lado dos valores de verdade de p e q colocamos a tabela da disjunção, que mostramos acima. Ela constitui nossa primeira premissa. A segunda premissa é a negação da proposição atômica q, basta apenas pegarmos os valores de verdade de q e negarmos. A conclusão, por sua vez, é p, basta apenas copiarmos os valores de verdade de p. Assim temos a tabela de verdade do argumento.
João é careca ou João tem cabelos p v q
João não tem cabelos >q
Portanto, João é careca .º. p
| Valores | Premissa | Premissa | Conclusão |
| p q | p v q | >q | p |
| V V | V | F | V |
| V F | V | V | V * |
| F V | V | F | F |
| F F | F | V | F |
O argumento que analisamos é válido, uma vez que não há nenhuma linha da tabela de verdades que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Ao contrário, na segunda linha temos todas as premissas verdadeiras, assim como sua conclusão verdadeira. O argumento é, portanto, válido.
Vamos construir nossa última tabela de verdades, que é o de equivalência. Assim teremos uma tabela completa com todos os valores de verdade dos quatro conectivos: conjunção, implicação, disjunção e equivalência. A construção dessa única tabela com todos os valores de verdade dos conectivos é importante, pois é com ela que analisaremos qualquer argumento que use proposições atômicas e moleculares.
Se p é verdadeiro e q é verdadeiro, p ↔ q é verdadeiro
Se p é verdadeiro e q é falso, p ↔ q é falso
Se p é falso e q é verdadeiro, p ↔ q é falso
Se p é falso e q é falso, p ↔ q é verdadeiro
Agora vamos construir um argumento que use equivalência. Primeiramente devemos transformar o argumento em símbolos.
João casa-se com Maria se, e somente se, Maria casa-se com João
João quer casar com Maria
Maria não se casa com João
p ↔ q
p
.º. >q
Uma vez que transformamos o argumento em símbolos, vamos começar montando a tabela de verdades. A primeira coisa a fazer é construir os valores de verdade de p e q. Logo após devemos construir a tabela de equivalência, que já mostramos acima, basta apenas copiar seus valores. Ela constitui nossa primeira premissa. A segunda premissa é a proposição atômica p, basta apenas copiar seus valores da primeira fileira das tabelas de verdade. A conclusão, por sua vez, é a negação da proposição atômica q, basta apenar negar q na segunda fileira das tabelas de verdade. Com isso a tabela construída ficaria assim:
| Valores | premissa | premissa | conclusão |
| p q | p↔ q | p | >q |
| V V | V | V | F * |
| V F | F | V | V |
| F V | F | F | F |
| F F | V | F | V |
É fácil perceber que este argumento é inválido. Como já dissemos um argumento é inválido quando é possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Nota-se que a primeira linha da tabela de verdades torna as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. O argumento é, portanto, inválido.
Além do que dissemos até aqui pode haver a relação de equivalência entre proposições. Uma proposição é equivalente a outra se elas sempre têm o mesmo valor de verdade: quando uma é verdadeira, a outra também é verdadeira; quando uma é falsa, a outra também é falsa. Por exemplo, as proposições (p q) é equivalente a (q p), nós representamos [(p q) (q p)]. Vamos montar uma tabela de verdades para mostrar que (pàq) é equivalente a >(p ^ >q). Ou seja, vamos mostrar que ambas as proposições possuem os mesmos valores de verdade. Nós representamos: [(pàq) >(p ^ >q)].
Primeiro vamos fazer a tabela de verdade de p à q
| p q | p-> q |
| V V | V |
| V F | F |
| F V | V |
| F F | V |
Observe os valores de verdade de p-> q, são eles: V, F, V, V. Mostraremos que eles são equivalentes a >(p ^ >q).
| p q | p | >q | (p ^ >q) | > (p ^ q) |
| V V | V | F | F | V |
| V F | V | V | V | F |
| F V | F | F | F | V |
| F F | F | V | F | V |
Primeiro estabelecemos os valores de p e q, depois copiamos os valores de p novamente e negamos q. Através de p e >q nós fizemos a tabela de valores de p ^ >q. Finalmente nós a negamos. Com isso encontramos os valores de > (p ^ >q) que são: V, F, V, F
Agora que construímos nossa última tabela de verdade de equivalência, temos a tabela de verdades completa. Ela torna-se importante para o estudante, pois é com ela que podemos analisar qualquer argumento que use proposições atômicas e moleculares. Vamos montá-la abaixo.
| p q | p ^ q | p -> q | p v q | p↔ q |
| V V | V | V | V | V |
| V F | F | F | V | F |
| F V | F | V | V | F |
| F F | F | V | F | V |
Fonte: http://logicanet.wordpress.com
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